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Olá queridos alunos do 3º Ano B - EE Padre Constantino de Monte.

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FORMA TRIGONOMÉTRICA DO NÚMERO  COMPLEXO

Com o auxílio da geometria analítica, o matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855) deu aos números complexos a interpretação geométrica de pares ordenados (a; b) num sistema ortogonal, associando univocamente cada par ordenado a um ponto nesse plano, e vice-versa.

Para essa representação, também podiam ser utilizadas outras coordenadas, por assim dizer: a distância p do ponto à origem do sistema de coordenadas, e o ângulo "alfa" entre o segmento OZ e a reta horizontal.

As relações entre as coordenadas são as seguintes:
a =p. cós alfa        onde:  p = a² + b²
b =p. sen alfa  = arc tg (b/a)      ou    alfa = arc sen (b/p)     ou ainda     alfa = arc cos(a/p)

O mais interessante que Gauss conseguiu com essa representação foi dar uma interpretação visível para a soma e o produto entre esses números. Isso é importante, pois os complexos carecem da relação de ordem que reina entre os reais:

Dados a e b reais, temos necessariamente a = b ou "a menor b" ou "a maior b", e esses fatos podem ser representados na reta real.
Para x e y complexos, só vamos até a = b    ou   a diferente b.

SOMA - é como somar vetores usando a regra do paralelogramo.

PRODUTO - lembrando da propriedade associativa,

(a + bi) . (c + di) = c (a + bi) + di (a + bi),

pode-se consolidar o produto em duas etapas:

a) multiplicar o complexo a + bi pelo real c; isso equivale a multiplicar seu módulo e não alterar a sua orientação:

b) multiplicar o complexo a + bi pelo real d e depois promover uma rotação de 90^o no sentido anti-horário:

c) somar os dois vetores obtidos em a) e b):

Pelas mãos de Gauss, ainda se tem a prova de que os complexos são o melhor conjunto para se encontrar soluções de equações algébricas, por meio de sua tese de doutoramento, o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA):

"Toda equação polinomial de coeficientes reais tem pelo menos uma raiz complexa."